Vezenkov nació en Nicosia de padres búlgaros y se crió en Chipre y Grecia. Tiene la triple ciudadanía de Bulgaria, Chipre y Grecia.
Vezenkov, que siempre fue considerado uno de los mejores jugadores juveniles de Europa en su grupo de edad, comenzó a jugar baloncesto en clubes juveniles en Chipre en 2005 con los equipos juveniles del APOEL Nicosia. En 2009, a la edad de 14 años, se mudó a Grecia y comenzó a jugar baloncesto en clubes juveniles con los equipos juveniles de Aris, hasta 2011, cuando se unió al club masculino senior de Aris. Se formó durante varios años en Nick Galis Hall, ubicado cerca del centro de Salónica, Grecia.
El 16 de mayo de 2013, Vezenkov se comprometió a jugar baloncesto universitario estadounidense en la Conferencia Big East, en la Universidad Xavier, con los Xavier Musketeers. Sin embargo, finalmente decidió quedarse en Grecia con el equipo de su club, el Aris.